3.921 \(\int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=133 \[ \frac{3 d^2 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac{3 d (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac{d^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac{(c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

[Out]

((c - d)^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (3*(c - d)^2*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(
2 + m)) + (3*(c - d)*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a
^4*f*(4 + m))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.140071, antiderivative size = 133, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.065, Rules used = {2833, 43} \[ \frac{3 d^2 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac{3 d (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac{d^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac{(c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((c - d)^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (3*(c - d)^2*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(
2 + m)) + (3*(c - d)*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a
^4*f*(4 + m))

Rule 2833

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d*x)/b)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int (a+x)^m \left (c+\frac{d x}{a}\right )^3 \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left ((c-d)^3 (a+x)^m+\frac{3 (c-d)^2 d (a+x)^{1+m}}{a}+\frac{3 (c-d) d^2 (a+x)^{2+m}}{a^2}+\frac{d^3 (a+x)^{3+m}}{a^3}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac{(c-d)^3 (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{a f (1+m)}+\frac{3 (c-d)^2 d (a+a \sin (e+f x))^{2+m}}{a^2 f (2+m)}+\frac{3 (c-d) d^2 (a+a \sin (e+f x))^{3+m}}{a^3 f (3+m)}+\frac{d^3 (a+a \sin (e+f x))^{4+m}}{a^4 f (4+m)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.381506, size = 113, normalized size = 0.85 \[ \frac{(a (\sin (e+f x)+1))^{m+1} \left (\frac{3 a^3 d^2 (c-d) (\sin (e+f x)+1)^2}{m+3}+\frac{3 a^3 d (c-d)^2 (\sin (e+f x)+1)}{m+2}+\frac{a^3 (c-d)^3}{m+1}+\frac{d^3 (a \sin (e+f x)+a)^3}{m+4}\right )}{a^4 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1 + m)*((a^3*(c - d)^3)/(1 + m) + (3*a^3*(c - d)^2*d*(1 + Sin[e + f*x]))/(2 + m) + (3
*a^3*(c - d)*d^2*(1 + Sin[e + f*x])^2)/(3 + m) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4 + m)))/(a^4*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 3.055, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \cos \left ( fx+e \right ) \left ( a+a\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m} \left ( c+d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{3}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x)

[Out]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.42002, size = 905, normalized size = 6.8 \begin{align*} \frac{{\left ({\left (d^{3} m^{3} + 6 \, d^{3} m^{2} + 11 \, d^{3} m + 6 \, d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} +{\left (c^{3} + 3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \,{\left (3 \, c^{3} + 7 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} -{\left ({\left (3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + 2 \, d^{3}\right )} m^{3} + 36 \, c^{2} d + 12 \, d^{3} + 3 \,{\left (8 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + 3 \, d^{3}\right )} m^{2} +{\left (57 \, c^{2} d + 12 \, c d^{2} + 19 \, d^{3}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \,{\left (13 \, c^{3} + 18 \, c^{2} d + 9 \, c d^{2} + 4 \, d^{3}\right )} m +{\left ({\left (c^{3} + 3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \,{\left (3 \, c^{3} + 7 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} -{\left ({\left (3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \,{\left (7 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} + 2 \,{\left (21 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \,{\left (13 \, c^{3} + 18 \, c^{2} d + 9 \, c d^{2} + 4 \, d^{3}\right )} m\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{f m^{4} + 10 \, f m^{3} + 35 \, f m^{2} + 50 \, f m + 24 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

((d^3*m^3 + 6*d^3*m^2 + 11*d^3*m + 6*d^3)*cos(f*x + e)^4 + (c^3 + 3*c^2*d + 3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c^3 + 24*c
*d^2 + 3*(3*c^3 + 7*c^2*d + 5*c*d^2 + d^3)*m^2 - ((3*c^2*d + 3*c*d^2 + 2*d^3)*m^3 + 36*c^2*d + 12*d^3 + 3*(8*c
^2*d + 5*c*d^2 + 3*d^3)*m^2 + (57*c^2*d + 12*c*d^2 + 19*d^3)*m)*cos(f*x + e)^2 + 2*(13*c^3 + 18*c^2*d + 9*c*d^
2 + 4*d^3)*m + ((c^3 + 3*c^2*d + 3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c^3 + 24*c*d^2 + 3*(3*c^3 + 7*c^2*d + 5*c*d^2 + d^3)*
m^2 - ((3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c*d^2 + 3*(7*c*d^2 + d^3)*m^2 + 2*(21*c*d^2 + d^3)*m)*cos(f*x + e)^2 + 2*(13*c
^3 + 18*c^2*d + 9*c*d^2 + 4*d^3)*m)*sin(f*x + e))*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(f*m^4 + 10*f*m^3 + 35*f*m^2 + 50*f*m
+ 24*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 109.548, size = 4308, normalized size = 32.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))**m*(c+d*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Piecewise((x*(c + d*sin(e))**3*(a*sin(e) + a)**m*cos(e), Eq(f, 0)), (-2*c**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a*
*4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 9*c**2*d*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 +
18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 3*c**2*d/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*
f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 6*c*d**2*sin(e + f*x)**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 +
18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**3/
(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 18*d**3*log(sin(e
+ f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) +
6*a**4*f) + 18*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 +
18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e
+ f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 6*d**3*sin(e + f*x)**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f
*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 9*d**3*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**
4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 5*d**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e
+ f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f), Eq(m, -4)), (-c**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e
+ f*x) + 2*a**3*f) - 6*c**2*d*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 3*c
**2*d/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 6*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f
*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e +
f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 6*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**3*f
*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*c*d**2*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a*
*3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 9*c*d**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 6*d**
3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 12*d**
3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 6*d**3*lo
g(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 2*d**3*sin(e + f*x)**3/(2*
a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 12*d**3*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 +
4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 9*d**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f), Eq(m
, -3)), (-2*c**3/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**2*f*si
n(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d/(2*a**2*
f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) -
12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 6*c*d**2*sin(e + f*x)**3/(2*a**2*f*sin(e
+ f*x) + 2*a**2*f) - 6*c*d**2*sin(e + f*x)*cos(e + f*x)**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 6*c*d**2*cos(
e + f*x)**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 12*c*d**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*d**3*log(sin
(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e
+ f*x) + 2*a**2*f) + 4*d**3*sin(e + f*x)**3/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 3*d**3*sin(e + f*x)*cos(e + f
*x)**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 3*d**3*cos(e + f*x)**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*d**3
/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f), Eq(m, -2)), (c**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) - 3*c**2*d*log(sin(e + f*x)
+ 1)/(a*f) + 3*c**2*d*sin(e + f*x)/(a*f) + 3*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) - 3*c*d**2*sin(e + f*x)/(a*f)
- 3*c*d**2*cos(e + f*x)**2/(2*a*f) - d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) + d**3*sin(e + f*x)**3/(3*a*f) + d**3*s
in(e + f*x)/(a*f) + d**3*cos(e + f*x)**2/(2*a*f), Eq(m, -1)), (c**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/
(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + c**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*
f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 9*c**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 5
0*f*m + 24*f) + 9*c**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 26*c**3
*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 26*c**3*m*(a*sin(e
+ f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)
/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f
*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 3*c**2*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2
+ 50*f*m + 24*f) + 3*c**2*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*
m + 24*f) + 24*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m +
24*f) + 21*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) -
3*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 57*c**2*d*m*(a*sin(e
+ f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 36*c**2*d*m*(a*sin(e + f*x)
+ a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 21*c**2*d*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(
f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 36*c**2*d*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 +
10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 36*c**2*d*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 5
0*f*m + 24*f) + 3*c*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m
+ 24*f) + 3*c*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24
*f) + 21*c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f)
+ 15*c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 6*
c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 42*c*d**2*
m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 12*c*d**2*m*(a*si
n(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 24*c*d**2*m*(a*sin(e + f
*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*c*d**2*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m
/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4
+ 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 +
50*f*m + 24*f) + d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m +
24*f) + d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) +
6*d**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 3*d**3*
m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 3*d**3*m**2*(a
*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 11*d**3*m*(a*sin(e +
f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 2*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)*
*m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 3*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e +
f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m
**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m
**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 6*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 2
4*f), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.20513, size = 1354, normalized size = 10.18 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

(3*((a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 2*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2
+ (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 + 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 8*
(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 5*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m + 2*(a
*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 6*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 6*(a*sin(f*x
+ e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2)*c*d^2/(a^2*m^3 + 6*a^2*m^2 + 11*a^2*m + 6*a^2) + ((a*sin(f*x + e) + a)^
4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 + 3*(a*sin(f*x + e) + a)^
2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^3 + 6*(a*sin(f*x + e) + a
)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 21*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2 + 24*(a*sin(f*x + e) +
a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 - 9*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^2 + 11*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 42*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 57*(a*sin(f*x + e
) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 26*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m + 6*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 24*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 36*(a*sin(f*x + e) + a
)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2 - 24*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3)*d^3/(a^3*m^4 + 10*a^3*m^3
+ 35*a^3*m^2 + 50*a^3*m + 24*a^3) + (a*sin(f*x + e) + a)^(m + 1)*c^3/(m + 1) + 3*((a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*s
in(f*x + e) + a)^m*m - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + (a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e
) + a)^m - 2*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a)*c^2*d/((m^2 + 3*m + 2)*a))/(a*f)